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变换矩阵
1.位移（Translation） 对于一个三维坐标（x, y, z），我们想让它往x轴正方向移动1个单位，往y轴正方向移动1个单位，往z轴正方向移动1个单位，则可以让它加上一个向量（1, 1, 1）
2.旋转（Rotation） 对于一个三维坐标（x, y, z），点（x, y, z）绕轴（u, v, w）旋转θ的矩阵是如下所示，
3. 缩放（Scale） 对于一个三维坐标（x, y, z），我们想让它扩大2倍，则可以让它变成（2x, 2y, 2z）。写成矩阵乘法的话，V2 = M*V1，M如下图：
4.通用
5.性质
旋转和缩放矩阵可交换（communicative） 先旋转后缩放和先缩放后旋转的结果是一样的。RS = SR。 位移不满足交换律 先位移再旋转和先旋转再位移结果是不一样的！因为旋转之后模型的正面朝向就变了，所以会向新的方向位移。 TS!=ST, TR!=RT。
对于任何一个线性变换矩阵，我们可以把它拆解（decompose）为TRS或TSR三个矩阵的乘积的形式。1）首先提取最后一列，得到位移。2）剩余的矩阵是R和S相乘的矩阵
坐标系
3D物体从三维坐标映射到2D屏幕上，要经过一系列的坐标系变换，这些坐标系如下：
1.model 物体本身（local）的坐标系，是相对坐标。 比如一个3D人物模型，头部某个点的坐标为（0，0，20），这是相对该模型的中心点（0，0，0）说的。当模型向前移动了5个单位，其中心点依旧是（0，0，0），头部那个点依旧是（0，0，20）
2.world 世界坐标系，即物体放在世界里的坐标，也就是大家最能理解的那个坐标。 还是上面的例子，他沿Z轴移动了5个单位后，中心点在世界坐标里变成了（0，0，5），头部那个点变成了（0，0，25）。 物体的位移，缩放，旋转会改变它的世界坐标，不会改变它的model坐标。
3.image 相机坐标系。 相机也是世界里的一个物体，相机坐标就是以相机位置为坐标原点，相机的朝向为Z轴方向的坐标系。因为我们在电脑里看到的物体其实都是“相机”帮助我们看的，“相机”就是我们的眼睛，所以要以相机为标准进行坐标转换。 在model，world，image坐标系下，X,Y,Z的范围都是无穷大，只是坐标系的基准不一样而已。
4.perspective (NDC, Normalized Device Coords) 透视坐标系。 这一步是将三维坐标向二维平面进行映射，经过透视变换之后，（x, y）的范围在[-1, 1]，z的范围在[0, 1] 可能有点难以理解，本文后面会有专门解释。
5.screen 屏幕坐标系。 因为屏幕是有分辨率的，比如1920×1080，所以还要再进行一次变换。 该坐标系的原点在屏幕左上角，x轴朝右，y轴朝下。x的范围在[0, xres-1]，y的范围在[0, yres-1]，即x是[0, 1920)，y是[0, 1080)。 z值是[0, MAXINT]，z=0就是屏幕那个平面，z=MAXINT就是无穷远。
坐标系的变换矩阵
1.从model变到world。 从模型本身的相对坐标变换到世界坐标，就是平移，旋转，缩放。
2.从world变到image（相机坐标）。 这一步是将物体在世界的坐标转换为相对相机的坐标。 首先要计算出相机的坐标系： 相机也是世界里的物体，我们假定相机的中心点在世界里的位置是C（Cx, Cy, Cz） 相机正在看着某个方向，我们假定相机正在看的点的位置是I（Ix, Iy, Iz） 那么，相机的 Z 轴就是它看的方向的向量，即CI向量，也就是I-C=（Ix-Cx, Iy-Cy, Iz-Cz），标准化之后就得到了 Z。接下来就是求 X 和 Y。
然后我们取世界坐标系里的up向量（0，1，0）。通过up叉乘Z（注意顺序），我们可以得到一个向量X1，将X1标准化（即使其模为1），我们就得到了 X 轴的单位向量。 在通过Z轴的单位向量与X轴的单位向量叉乘，即 Z×X（注意顺序），我们就得到了Y轴的单位向量。 然后计算变换矩阵： 根据方程组来解，世界坐标系中，相机原点为（Cx, Cy, Cz），在相机坐标系中为（0，0，0）所以，（0, 0, 0） = Xiw *（Cx, Cy, Cz），世界坐标系中，相机的三个轴为X+C=(Xx+Cx, Xy+Cy, Xz+Cz), Y+C=(Yx+Cx, Yy+Cy, Yz+Cz), Z+C=(Zx+Cx, Zy+Cy, Zz+Cz)，但在相机坐标系下为(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1) 所以 ，（1, 0, 0） = Xiw *（Xx+Cx, Xy+Cy, Xz+Cz）; （0, 1, 0） = Xiw *（Yx+Cx, Yy+Cy, Yz+Cz）; （0, 0, 1） = Xiw *（Zx+Cx, Zy+Cy, Zz+Cz）;。根据以上 4 个式子，可以求出，
3.从image变到perspective
4. 从perspective变到screen
所以，一个3D物体显示到电脑屏幕上，要经过4重坐标系变换。 screen Xsp perspective (NDC) Xpi image Xiw world Xwm model
在实际的渲染引擎运行中，Xsp和Xpi基本不会变，因为你的屏幕分辨率很少会变动。Xiw会在相机移动和旋转时改变。Xwm会在物体平移，旋转，缩放时改变。
参考资料
